11单变量线性与逻辑回归

单变量回归一次只把一个自变量放入模型，用于描述它与结局的未调整关联。结局类型决定模型家族：连续结局常用线性回归，二分类结局常用逻辑回归。

回归模型的共同框架

单变量模型不控制混杂，适合描述和初步探索，但不能因为只有一个预测变量就作因果解释。

单变量线性回归

set.seed(123)
n <- 500
df <- data.frame(age = rnorm(n, 50, 10))
df$bp <- 110 + 0.5 * df$age + rnorm(n, 0, 8)

linear_fit <- lm(bp ~ age, data = df)
summary(linear_fit)
confint(linear_fit)

年龄系数表示年龄每增加一岁，平均收缩压变化多少。截距只有在 age = 0 有实际意义时才值得单独解释。

线性模型诊断

经典推断关注线性形式、观测独立、残差方差和影响点：

par(mfrow = c(2, 2))
plot(linear_fit)
par(mfrow = c(1, 1))

▶查看图片线性回归诊断图

• Residuals vs Fitted：检查曲线模式与漏斗形；
• Normal Q-Q：检查残差尾部偏离；
• Scale-Location：进一步检查方差变化；
• Residuals vs Leverage：寻找高杠杆和高影响观测。

异方差会影响经典标准误，可比较 HC3 稳健标准误：

library(lmtest)
library(sandwich)

coeftest(
  linear_fit,
  vcov. = vcovHC(linear_fit, type = "HC3")
)

稳健标准误不会修复非线性、依赖观测或错误模型形式。

单变量逻辑回归

对于 $Y\in\{0,1\}$：

linear_predictor <- -6 + 0.08 * df$age
df$hypertension <- rbinom(n, 1, plogis(linear_predictor))

logistic_fit <- glm(
  hypertension ~ age,
  data = df,
  family = binomial(link = "logit")
)

summary(logistic_fit)

系数位于 log odds 尺度。指数化后得到优势比：

exp(cbind(
  OR = coef(logistic_fit),
  confint(logistic_fit)
))

若年龄 OR 为 1.09，表示年龄每增加一岁，事件 odds 乘以 1.09。odds 的相对变化不是概率增加 9 个百分点。

用边际效应表达概率变化

library(margins)
margins(logistic_fit)

平均边际效应把模型在各观测处的概率变化求平均，通常比 log odds 更容易解释。它仍依赖模型形式和样本协变量分布。

检查连续变量的函数形式

逻辑回归假设连续 X 与 logit 线性，而不是 X 与概率线性。可以比较线性项和自然样条：

library(splines)

spline_fit <- glm(
  hypertension ~ ns(age, df = 3),
  data = df,
  family = binomial()
)

anova(logistic_fit, spline_fit, test = "Chisq")

发现非线性后，应展示预测概率曲线，而不是继续用单个 OR 概括全部年龄范围。

分离与稀疏类别

若某个预测变量能完全区分结局，最大似然估计会趋向无穷，常表现为不收敛、系数极端和标准误巨大。

df$old <- as.integer(df$age > 70)
df$separated_outcome <- df$old

separated_fit <- glm(
  separated_outcome ~ old,
  data = df,
  family = binomial()
)

此时不能相信普通 Wald p 值。可检查列联表，并根据目的考虑 Firth 校正、正则化或重新设计数据收集。

最小检查清单

• 结局分布是否与模型家族匹配；
• 观测是否独立；
• 连续变量函数形式是否合理；
• 是否存在高影响点、稀疏类别或分离；
• 缺失导致多少观测被排除；
• 系数、区间和预测是否在合理尺度解释；
• 单变量关联是否可能被混杂解释。

单变量筛选不能替代基于研究问题选择协变量。进入多变量模型时，变量是否保留不应只由单变量 p 值决定。