常见统计分布与 R 函数

概率分布描述随机变量可能取哪些值，以及这些值出现的相对可能性。统计检验、置信区间和模拟都建立在分布之上。

R 的 `d`、`p`、`q`、`r` 约定

多数分布都提供四类函数：

前缀	返回内容	正态分布示例
`d`	密度或概率质量	`dnorm()`
`p`	累积分布概率	`pnorm()`
`q`	给定概率对应的分位数	`qnorm()`
`r`	随机抽样	`rnorm()`

dnorm(0)
pnorm(1.96)
qnorm(0.975)
rnorm(5, mean = 0, sd = 1)

这个命名规则也适用于 dt()、pbinom()、qchisq()、rf() 等函数。

分布选择速查

分布	类型	关键参数	常见用途
正态	连续	均值、标准差	测量误差、均值近似
t	连续	自由度	均值推断、回归系数
二项	离散	试验次数、成功概率	固定次数中的成功数
泊松	离散	事件率	固定暴露量中的计数
指数	连续	事件率	泊松过程的等待时间
均匀	连续	下限、上限	区间内等可能抽样
卡方	连续	自由度	方差、列联表、拟合优度
F	连续	两个自由度	方差比、ANOVA、模型比较

正态分布

正态分布由均值和标准差决定，关于均值对称：

set.seed(123)
x <- rnorm(1000, mean = 0, sd = 1)

查看图片正态分布

样本看起来近似钟形并不自动满足所有统计假设。检验通常关心误差或残差分布，而不一定要求原始变量本身正态。

t 分布

t 分布同样对称，但尾部比正态分布更厚。自由度增加时逐渐接近标准正态分布：

x <- rt(1000, df = 5)
qt(0.975, df = 5)

查看图片t 分布

它用于总体标准差未知时的均值推断，也是线性模型系数检验的重要参考分布。

二项分布

二项分布描述固定 $n$ 次独立试验中的成功次数，每次成功概率为 $p$ ：

x <- rbinom(1000, size = 10, prob = 0.5)
dbinom(5, size = 10, prob = 0.5)
pbinom(5, size = 10, prob = 0.5)

查看图片二项分布

典型例子包括 20 位受试者中的应答人数，或一批产品中的合格数量。

泊松分布

泊松分布描述固定时间、空间或暴露量内的事件数：

x <- rpois(1000, lambda = 3)
dpois(2, lambda = 3)

查看图片泊松分布

lambda 同时决定均值和方差。实际计数数据若方差明显更大，可能存在过度离散，需要其他模型。

指数分布

指数分布描述恒定事件率的泊松过程中的等待时间：

x <- rexp(1000, rate = 2)
pexp(1, rate = 2)

查看图片指数分布

它具有无记忆性；如果事件风险随时间变化，指数分布可能不适合。

均匀分布

连续均匀分布让区间内任意等宽区域具有相同概率：

x <- runif(1000, min = 0, max = 1)

查看图片均匀分布

它常用于随机数生成和模拟中的基础抽样。

卡方分布

卡方分布只取非负值，自由度决定形状：

x <- rchisq(1000, df = 5)
qchisq(c(0.025, 0.975), df = 5)

查看图片卡方分布

它出现在总体方差推断、分类数据检验和拟合优度检验中。

F 分布

F 分布是两个经自由度缩放的卡方变量之比，同样只取非负值：

x <- rf(1000, df1 = 5, df2 = 10)
qf(0.95, df1 = 5, df2 = 10)

查看图片F 分布

ANOVA 使用 F 统计量比较组间与组内变异；嵌套模型比较也常出现 F 检验。

模拟、概率与分位数是不同问题

“随机生成 100 个观测”使用 r*()；
“某个值附近的密度或概率”使用 d*()；
“不超过某值的概率”使用 p*()；
“95% 分位点在哪里”使用 q*()。

选择分布不能只看直方图形状，还要对应数据生成机制、取值范围、独立性和参数含义。

R 的 d、p、q、r 约定